martes, 22 de abril de 2014

sábado, 29 de marzo de 2014

Integral indefinida. Sustitución u. Sustitución z. Fracciones parciales.

Resolver la siguiente integral indefinida:
Se reescribe el integrando de una forma adecuada (considerando la sustitución u que se va realizar): 
Se hace la sustitución u:
Se sustituye (2) en (1):
Se efectúa una sustitución z:
Se sustituye (4) en (3):
Se efectúa el cociente indicado por la fracción impropia y se integra el primer sumando:
Se expresa la fracción impropia en el integrando como una suma de fracciones parciales:
Se sustituye (9) en (5):
Se integra y se adiciona la constante de integración:
Se aplica una propiedad de los logaritmos:
Se restituye la variable z a u:
Por último, se restituye la variable u a x:

martes, 25 de marzo de 2014

Problemas de quebrados. Aritmètica de Baldor 161_3

161_3.  Después de vender los 3/4 de un rollo de alambre y 30 metros. más, queda 1/6 del alambre que había al principio. ¿Cuál era la longitud del rollo de alambre antes de vender nada?
Solución - Juan Beltrán:
La unidad representa la longitud total de alambre que había al principio. Y
          1 – 1/6 = 6/6 – 1/6 = 5/6: fracción del alambre original que se ha vendido.
Además
          3/4 + 30: total de alambre que se ha vendido
Si al total de alambre que se ha vendido se le resta los 3/4 de alambre que se ha vendido en un comienzo, quedan 30 metros por vender. Y
         5/6  3/4 = 10/12  9/12 = 1/12: fracción del alambre original que resta por vender.
Esto significa que 1/12 de la longitud del alambre original es de 30 metros. Por lo que, 
         12 x 30 = 360: longitud del rollo de alambre antes de la venta.
Respuesta: Antes de vender nada, el rollo de alambre tenía una longitud de 360 metros.

Este es un problema enunciado en un libro de aritmética y que se debe resolver con herramientas aritméticas. Como se puede observar, para resolverlo de esta forma se deben utilizar bastantes palabras en la conceptualización y aplicar mucho la imaginación. La solución se simplifica significativamente si se hace a la manera algebraica:
Sea     x: Longitud original del rollo de alambre, en metros
          (3/4)x + 30: parte del alambre que se vende, en metros
          (1/6)x: parte del alambre que queda después de la venta, en metros
Como el todo es igual a la suma de sus partes, se tiene que:
          x(3/4)x + 30 + (1/6)x,
=>     12x = 9x + 360 + 2 {multiplicando todos los términos por el MCD = 12},
=>     12x = 11x + 360;
.:        x = 360.

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